|
Demonstra?ie: Din înmul?ind la stânga cu ob?inem:
Pe de alt? parte:
Dar cum ajungem la concluzia .
Teorema II.7.2. Dac? (24) are optim finit atunci (25) are optim finit ?i avem unde este o solu?ie optim? pentru (24) iar o solu?ie optim? pentru (25).
Demonsta?ie: Din teorema II.7.1. pentru orice pereche de programe duale X,Y, avem . Deci are loc ?i . Cum f este o func?ie liniar?, deci continu?, atunci exist? ?i are loc .
Pe de alt? parte folosind (13) ?i teorema II.4.1. avem . Se demonstreaz? c? este un program optim pentru duala (25). Atunci:
Teorema II.7.3. (teorema ecarturilor complementare)
Fie X,Y solu?ii ale problemelor (24), respectiv (25). Atunci X,Y sunt solu?ii optime dac? ?i numai dac? au loc rela?iile:
Demonstra?ie. Avem:
Folosind teoremele II.7.2. ?i II.7.1. ob?inem c? X,Y sunt programe optime dac? ?i numai dac? ceea ce conduce la:
sau:
Dualitatea se folose?te cel mai frecvent în cazul în care problema primal? necesit? calcule multe:
|